بررسی بعضی مباحث ریاضی عمومی 1 و 2 در متلب

[skyzare]

پاسخ : بررسی بعضی مباحث ریاضی عمومی 1 و 2 در متلب

با سلام .

اندازه بردار :

اندازه بردار A را با توجه به رابطه زیر محاسبه میکنیم :

اگه بخوایم با تعریف به دست بیارم به فرم زیر میشه : ( A دوم در واقع این جوری هست 'A ) در واقع ترانهاده A هست.

>> L=sqrt( A * A' )

L =

   5 

ولی نرم افزار متلب برای محاسبه اندازه بردار ( نرم ماتریس یا بردار ) از تابع norm استفاده می کنه :

>> A=[3 0 4 ]

A =

   3   0   4

>> L=norm(A)

L =

   5 

ولی توی هلپش با این ارگو ما ن ها هم استفاده کرده :

سوال : من میخوام بدونم مورد اول و سوم چیه ؟ اصلا نرم یه ماتریس چی هست ؟

این هم فرم ریاضی بعضی موارد بالا :

[ahmadpashaei]

پاسخ : بررسی بعضی مباحث ریاضی عمومی 1 و 2 در متلب

نرم در ضرب داخلی بردارها و نیز توابع و فرایند متعامد سازی اشمیت و همچنین در بدست آوردن سری پرکاربرد فوریه جاییکه باید برای اثبات همگرایی این سری،مبنای متعامد و مبنای کامل بدست بیاریم، به کار میره.فرض کنید V یک فضای برداری حقیقی باشه،ضرب داخلی دارای ویژگی هایی هست-فکر کنم 4و5تا ویژگی- که باید برقرار باشند و با نقطه . و در متلب با دستور dot انجام میشه و به صورت زیر اثبات میشه(در ریاضی عمومی 2 البته اصلا این تعریفها نیست و یکسره میرین رو فرمول زیر
ولی در جبر خطی به این سادگیا نبوده و برای یک فضای برداری حقیقی و نیز مختلط بحث میشه و باید اون 5 شرط اثبات بشه حتما و با نماد <x,y> نشان میدن و اینجوری تعریف میشه:

همونطور که دیدین norm برای دو بردار عموما تعریف میشه ولی بسطش دادن و روی ماتریس هم تعریف کردن که بهش میگن نرم القایی و در فضای مختلط بحث میشه (Induced norm)
اگر توابع f و g مختلط باشند:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;<f,g>=\int_{a} ^{b}f(x)g^{*}(x)dx\Rightarrow&space;norm\right arrow&space;<f,f>=\int_{a}^{b}f(x)f^{*}( x)dx=\int_{a}^{b}\left&space;|&space;f(x)& amp;space;\right&space;|^{2}dx\Rightarrow& space;\left&space;\|&space;f&space;\ri ght&space;\|=\left&space;|&space;f(x)& amp;space;\right&space;|[/img]

[skyzare]

بررسی بعضی مباحث ریاضی عمومی 1 و 2 در متلب

با سلام .

با تشکر از پاسخ شما .

در رابطه با این سوال یک کاربر دیگه هم توی یه انجمن دیگه راهنمایی کردند . که من بعضی هاش رو متوجه شدم .
مطالب ایشون رو هم قرار میدم .

منبع ( پاسخ رو استاد بهار دادند :rolleyes: )

========================================

تعریف نرم یک :

نرم یک : ابتدا کلیه درایه ها ماتریس رو با قدر مطلق در نظر میگیریم . حال مجموع هر ستون از ماتریس رو به دست اورده بعد بزرگترین عدد به دست اومده میشه نرم یک . به صورت ریاضی بخوایم نشون بدیم میشه :

تعریف نرم بی نهایت :

نرم بی نهایت : ابتدا کلیه درایه ها ماتریس رو با قدر مطلق در نظر میگیریم . حال مجموع هر سطر از ماتریس رو به دست اورده بعد بزرگترین عدد به دست اومده میشه نرم بی نهایت . که به ریاضی بخوایم نشون بدیم میشه :

=================================================

مثال : نرم یک و نرم بی نهایت ماتریس زیر را بیابید .

=================================================

حالا با نرم افزار متلب :

>> a=[ -1 -2 3 ; 4 5 6 ; -7 8 -9 ]

a =

  -1  -2   3
   4   5   6
  -7   8  -9

>> norm1=norm(a,1)

norm1 =

  18

>> norm_inf=norm(a,inf)

norm_inf =

  24

>> norm2=norm(a,2)

norm2 =

  14.6230 

[ahmadpashaei]

پاسخ : بررسی بعضی مباحث ریاضی عمومی 1 و 2 در متلب

اما نرم ماتریس که در فضای برداری مختلط بحث میشه :

یعنی A1 از max اعداد حاصله از جمع درایه های هر ستون و Aبینهایت از max اعداد حاصله از جمع درایه های هر سطر به دست می آیند :!!چقدر وقت میگیره این فرمول نویسی هااااا ~x( :-??بیچاره شدم ولی خوب من رو دوباره برد تو دفتر مفترا

[skyzare]

پاسخ : بررسی بعضی مباحث ریاضی عمومی 1 و 2 در متلب

با سلام .

باتشکر از شما .

این کدام نرم هست ؟ و اون x چیه ؟

[ahmadpashaei]

پاسخ : بررسی بعضی مباحث ریاضی عمومی 1 و 2 در متلب

حالا A2 رو به دست میاریم که میشه:(البته باید اینجا ماتریس الحاقی یادتون باشه همون *A)
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;\left&space;\|&a mp;space;A&space;\right&space;\|_{2}=\sqrt {\lambda&space;_{max(A^{*}.A)}}[/img]

[ahmadpashaei]

پاسخ : بررسی بعضی مباحث ریاضی عمومی 1 و 2 در متلب

با سلام .

باتشکر از شما .

این کدام نرم هست ؟ و اون x چیه ؟

همونطور که در پستهای قبلی عرض کردم این تعریف نرم ماتریس یا نرم القایی induced norm هست. و برای نرم x دو مقدار 0 و یک داریم که اگر x=1 باشه فقط میشه مساوی نرم Ax.،در تعریف خود نرم ماتریس هست که اصلا مهم نیست و همین تعریفی که اینجا گفتم کاربرد داره فقط.

[ahmadpashaei]

پاسخ : بررسی بعضی مباحث ریاضی عمومی 1 و 2 در متلب

در نهایت Af norm هم باز به ماتریس الحاقی و البته علاوه بر اون به تعریف رد یا اثر یا trace ماتریس که حاصل جمع درایه های قطر اصلی هست نیاز داره:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;\left&space;\|&a mp;space;A&space;\right&space;\|_{F}=\sqrt {\&space;_{trace(A^{*}.A)}}[/img]

[ahmadpashaei]

پاسخ : بررسی بعضی مباحث ریاضی عمومی 1 و 2 در متلب

لازم به ذکر است که من همزمان در حال امتحان کردن تک تک پستهام در متلب هستم و خوشبختانه همه پستهام بدون کوچکترین اشتباهی تقدیم به کاربران عزیز.خیالتون راحت
موفق باشید

[skyzare]

بررسی بعضی مباحث ریاضی عمومی 1 و 2 در متلب

با سلام .

من با توجه به دستوران زیر در help متلب موارد مربوط به نرم را با مثال و راه حل می نویسم فعلا فقط نرم دو .

نرم دو :
در ریاضیات برای محاسبه نرم دوم ماتریس از رابطه زیر استفاده می شود :

که در داریم :

( این مورد اخری توی جدولی که کشیدم اسمش چی هست ؟ هم فارسی اش هم انگلیسی اش رو میخوام )


حال به محاسبه دستی جواب را به دست می اوریم . ( توی ورد نوشته بود دیگه حوصله نبود توی اون سایت ریاضی هم تایپ کنم ازش عکس گرفتم . )

************************************************** *****

حالا با استفاده از نرم افزار متلب :

>> A

A =

   1   2
   3   4

>> Norm_2=norm(A,2)

Norm_2 =

  5.4650 

************************************************** *****

با توجه به این که هدف بررسی توابع مختلف در متلب هست این بار با استفاده از سایر فرمول های متلب و تعریفی که از نرم دو داریم جواب را با دو روش مختلف به دست می آوریم .

روش اول : کد زیر را با توجه به فرمول نرم دو نوشته شده است .

% File name : norm 2 by defenition of formula
 
syms k 
 
A=[1 2 ; 3 4 ] 
 
B=A'*A % conjugate transpose
 
I=eye(2)
 
c = det(B-k*I) % determinal of conjugate transpose
 
R=roots([1 -30 4 ]) % Roots of C
 
L_max=max(R)  % max of eigenvalue
 
norm_2=sqrt(L_max) % sqrt of max Landa 

که بعد از اجرای کد بالا به دست می آوریم :

A =

   1   2
   3   4


B =

  10  14
  14  20


I =

   1   0
   0   1

 
c =
 
k^2 - 30*k + 4
 

R =

  29.8661
  0.1339


L_max =

  29.8661


norm_2 =

  5.4650 

************************************************** *****

روش دوم : می توان کد بالا را به راحتی در یک خط نوشت . در واقع فرمول نرم دو را به صورت زیر می توان با متلب نوشت .

>> A=[1 2 ; 3 4 ]

A =

   1   2
   3   4

>> Norm_2=sqrt(max(eig(A'*A))) % By definition 

Norm_2 =

  5.4650 

************************************************** *****

سوال : فرض کنیم یه چند جمله ای رو توی متلب تعریف کرده باشیم یه چیزی مثل زیر :

c =
 
k^2 - 30*k + 4 

چه جوری میتونم ضرایب چند جمله ای رو از عبارت بالا استخراج کنم ؟؟؟ الان اگه توی اون کد بالا دقت می کردید من برای این که این ضرایب رو به تابع roots بدم خودم دستی وارد کردم .

***********
90/1/13

[skyzare]

پاسخ : بررسی بعضی مباحث ریاضی عمومی 1 و 2 در متلب

با سلام .

بررسی دومین تابع :

n = norm ( X ) k این مورد نیز مشابه همان نرم 2 می باشد در واقع اگر نرم یک یا دو را مشخص نکینم به صورت پیش فرض نرم افزار متلب نرم دو را محاسبه می نماید .

>> A=[1 2 ; 3 4 ];
>> n=norm(A)

n =

  5.4650 

==============================================

نرم یک و نرم بی نهایت قبلا توضیح داده شده .

==============================================

Frobenius norm :

برای محاسبه نرم Frobenius از فرمول زیر استفاده می گردد .

که داریم :

در نرم افزار متلب برای محاسبه این نرم از تابع زیر استفاده می شود :

مثال : نرم Frobenius ماتریس زیر را به دست آورید .

حل : با توجه به فرمول داریم ( جواب رو با هر دو فرمول می نویسم سومی رو نمیدونم :sad: چی اگه کسی بلده بگه )

اگر با رابطه تریس به دست آوریم :

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left&space;\|&space;A&space ;\right&space;\|_F=\sqrt[2]{tr(A\times&space;A^*)}=\sqrt[2]{tr\begin{bmatrix}&space;5&space;&11&a mp;space;\\&space;11&&space;25&spa ce;\end{bmatrix}}=\sqrt[2]{30}=5.4774[/img]

بررسی با نرم افزار متلب :

>> A=[1 2 ; 3 4 ]

A =

   1   2
   3   4

>> Norm_fro=norm(A,'fro')

Norm_fro =

  5.4772 

اگر بخوایم نرم فروبینوس را با توجه به فرمول آن و توابع متلب پیاده سازی کنیم به صورت زیر خواهد بود

با توجه به فرمول مجذور سیگما :

>> A

A =

   1   2
   3   4

>> Norm_fro=sqrt(sum(sum(abs(A).^2)))

Norm_fro =

  5.4772 

با توجه به تعریف مجذور تریس :

>> A

A =

   1   2
   3   4

>> Norm_fro=sqrt(trace(A*A'))

Norm_fro =

  5.4772 

تابع :

در این جا V یک بردار ستونی یا سطری می باشد که با اعمال این تابع به آن بزرگترین درایه V را بر می گرداند .


تابع :

در این جا V یک بردار ستونی یا سطری می باشد که با اعمال این تابع به آن کوچکترین درایه V را بر می گرداند

>> A=[1 2 3 4 ]

A =

   1   2   3   4

>> n=norm(A,inf)

n =

   4

>> n=norm(A,-inf)

n =

   1 

90/1/13

[skyzare]

پاسخ : بررسی بعضی مباحث ریاضی عمومی 1 و 2 در متلب

با سلام .
اساتید میخواستم یه اطلاعی از عدد حالت ( condition number )به دست بیارم که چیه ؟ البته خودم تا حدودی می دونم . که اگه عدد حالت کوچک باشه یعنی این که ماتریس A و دستگاه حاصل از خوش حالت هست (well ciondition) و اگه بزرگ باشه ماتریس نزدیک به منفرد شدن هست و اون ماتریس بد حالت هست (ill conditiom ). و خطای محاسباتی در معکوس کردن ماتریس A زیاده .

میخواستم بدونم فرمولش چیه ؟ یه چند جا دیدم با هم فرق داشتن .

بعد یه چیز دیگه نوع های مختلفی داره ؟

===========================================

What do you mean by ill-conditioned and well-conditioned system of equations

A system of equations is considered to be well-conditioned if a small change in the
coefficient matrix or a small change in the right hand side results in a small change in the
solution vector.
A system of equations is considered to be ill-conditioned if a small change in the
coefficient matrix or a small change in the right hand side results in a large change in the
solution vector.

===========================================

این لینک هم خوبه :
http://numericalmethods.eng.usf.edu/...e_adequacy.pdf

===========================================

به نظر شما توی این جمله زیر اون قسمت قرمز رنگ به چی بر می گرده ؟ به Equation (3) l

Matlab provides three functions for computing condition numbers: cond, condest, and rcond. cond computes the condition number according to Equation (3), and can use the one norm, the two norm, the infinity norm or the Frobenius norm. This calculation can be expensive, but it is accurate. condest computes an estimate of the condition number using the one norm. rcond uses a different method to estimate the ``reciprocal condition number,'' defined as

90/1/14

[رضا شفقی]

پاسخ : بررسی بعضی مباحث ریاضی عمومی 1 و 2 در متل&#1

به نظر شما توی این جمله زیر اون قسمت قرمز رنگ به چی بر می گرده ؟ به Equation (3) l

Matlab provides three functions for computing condition numbers: cond, condest, and rcond. cond computes the condition number according to Equation (3), and can use the one norm, the two norm, the infinity norm or the Frobenius norm. This calculation can be expensive, but it is accurate. condest computes an estimate of the condition number using the one norm. rcond uses a different method to estimate the ``reciprocal condition number,'' defined as

cond

[skyzare]

حل دستگاه های جبر خطی در نرم افزار متلب

با سلام .

منبع :

جزوه دستگاه معادلات جبر خطی از مهندس صبا صدقی زاده استاد دانشگاه صنعتی خواجه نصیر طوسی

در ابتدا یک بررسی اجمالی بر روی دستگاه ها و شرایط آن خواهیم داشت سپس به بررسی دستورات مربوطه در نرم افزار متلب می پردازیم .

صورت کلی یک دستگاه معادلات جبر خطی با m معادله و n مجهول به شکل زیر در نظر گرفته می شود :

این دستگاه معادلات معروف به یک سیستم m*n است که در آن aij و bi مقادیر ثابت و معین و xj مجهولاتی هستند که باید تعیین گردند . این دستگاه معادلات را می توان با صرف نظر کردن مجهولات و فقط با در نظر گرفتن ضرایب به صورت زیر نمایش داد :

این ماتریس را ماتریس افزوده سیستم می نامند ، که هر سطر آن بیان کننده یکی از معادلات خطی می باشد . هم چنین می توان معادلات را به شکل Ax=b نمایش داد که در آن A یک ماتریس m*n ؛ b یک بردار m*1 و x یک بردار n*1 به صورت زیر است :

در رابطه با دستگاه معادلات خطی پرسشی که مطرح می گردد آن است که آیا جوابی برای مجموعه معادلات وجود دارد یا نه . در صورت وجود منحصر به فرد است یا خیر . در فرایند حل این دستگاه معادلات امکان رخ داد حالت های زیر وجود دارد :

1 - حالتی که دستگاه بدون جواب یا ناسازگار است .
2- حالتی که دستگاه سازگار است و جواب دارد که در این صورت امکان دارد فقط یک جواب منحصر به فرد داشته باشد یا این که بی شمار جواب داشته باشد .

**************************************

در یک دستگاه معادلات جبر خطی m*n که m تعداد معادلات و n تعداد مجهولات است حالت های زیر را می توان در نظر گرفت :

حالت m=n : در این حالت دستگاه را همواره معین می گوییم .

اگر باشد دستگاه معادلات سازگار است و یک جواب منحصر به فرد دارد

اگر باشد و دستگاه معادلات سازگار باشد بیشمار جواب دارد و برای به دست آوردن یک پاسخ معین از روش حداقل نرم می توان استفاده نمود .

اگر باشد و دستگاه معادلات ناسازگار باشد اصلا جواب ندارد و برای به دست آوردن یک پاسخ تقریبی از روش حداقل مربعات استفاده می شود .

حالت m<n : در این حالت دستگاه را فرومعین گویند .

این گونه سیستم ها می تواند بیشمارش جواب داشته باشد . در دستگاه های فرومعین که دارای بیشمار جواب هستند برای به دست آوردن یک پاسخ معین از روش حداقل نرم می توان استفاده کرد.


حالت m>n : در این صورت دستگاه را فرامعین می نامند .

چنین دستگاه هایی در صورت سازگار بودن می تواند بک جواب منحصر به فرد داشته باشد .
بررسی وجود و یا عدم وجود جواب زمانی که تعداد معادلات و مجهولات دستگاه کم باشند بسیار ساده است . لیکن در عمل ممکن است با تعداد معادلات مجهولات بیشتری سر و کار داشته باشیم . برای دستگاه هایی با تعداد معادلات و مجهولات بیشتر باید از روش های خاصی جهت به دست آوردن پاسخ استفاده کرد. نرم افزار متلب ابزارهای زیادی برای حل دستگاه معادلات خطی دارد . یک روش برای حل دستگاه معادلات Ax=b استفاده از عملگر تقسیم (\) است .

**************************************

در حالت m=n نرم افزار متلب جواب دقیق دستگاه را پس از گرد کردن اعداد محاسبه می نماید .

مثال : دستگاه معادلات زیر را حل نمایید .

که در آن داریم :

**************************************

حل با متلب استفاده از عملگر ( \ ) : ( اون پایین c=A \ b هست نمیدونم چرا وقتی کد php استفاده می شه چاپ نمیشه ! )

A =

   1   2   3
   4   5   6
   7   8  10

>> b=ones(3,1)

b =

   1
   1
   1

>> c=A\ b

c =

  -1.0000
  1.0000
  0.0000 

============================

حل با روش معکوس کردن A و ضرب در ماتریس b :

A =

   1   2   3
   4   5   6
   7   8  10

>> b

b =

   1
   1
   1

>> c=inv(A)*b

c =

  -1.0000
  1.0000
  0.0000 

============================

عصر سه شنبه 15 / 1 / 90

[skyzare]

بررسی بعضی مباحث ریاضی عمومی 1 و 2 در متلب

با سلام .

ادامه حل دستگاه های معادلات جبری خطی :

منبع :

307 notes

در این pdf که به زیان اصلی می باشد بعضی از نکات در نرم افزار متلب و یک سری از توابع از اون رو معرفی کرده که به نظرم جالب هست .

========================================

مقدمه :

استفاده از تابع rref برای حل دستگاه

حل دستگاه های نامنفرد با n معادله و n مجهول :

دستگاه AX=b را در نظر می گیریم که در آن A ماتریس مربعی نامنفرد ( دارای معکوس ) می باشد . که در این حالت دارای یک جواب منحصر به فرد می باشد . یکی از روش های حل آن استفاده از معکوس A می باشد . ولی معمولا این روش پیشنهاد نمی شود زیرا محاسبه معکوس تابع زمان بر می باشد . با استفاده از تابع rref می توان پاسخ را به دست آورد . مزیت این تابع در این می باشد که اگر دستگاه مربعی و منفرد باشد یا مربعی هم نباشد قابل استفاده می باشد در صورتی که دو روش قبلی تنها با دستگاه نامنفرد قابل اعمال است . اساس کار این تابع استفاده از ماتریس افزوده ( Augmented Matrix ) سیستم و محاسبه ماتریس سطری پلکانی ( Reduced row echelon form ) می باشد . ماتریس سطری پلکانی یک ماتریس منحصر به فرد می باشد . که دارای ویژگی های زیر می باشد :
الف ) اولین درایه غیر صفر ( در صورت وجود ) هر سطر ماتریس A برابر با یک ( Called Leading 1 ) می باشد .
ب ) همه درایه های ستونی از A که شامل اولین درایه غیر سطری از A است برابر با صفر باشد .
پ ) اولین درایه غیر صفر هر سطر از اولین درایه غیر صفر سطری بعدی به ستون اول ( دست چپ ) نزدیکتر باشد .
ت ) بعد از سطری که همه درایه های آن صفر است ، سطر غیر صفری وجود نداشته باشد .

================================================== ======

مثال :
دستگاه معادله زیر را حل نمایید . ( با استفاده از به دست آورد ماتریس سطری پلکانی )

که ماتریس ضرایب ( A ) و ماتریس مجهول ( X ) و ماتریس طرف دوم ( b ) به صورت زیر است :

حل با استفاده از تابع rref :

>> A=[0 2 0 ; -1 2 -2 ; 0 1 2 ] 

A =

   0   2   0
  -1   2  -2
   0   1   2

>> b=[2 ; -2 ; 1 ]

b =

   2
  -2
   1

>> C=[A , b ] % Augmented Matrix

C =

   0   2   0   2
  -1   2  -2  -2
   0   1   2   1

>> S=rref(C)

S =

   1   0   0   4
   0   1   0   1
   0   0   1   0 

در واقع ماتریس S هم ارز با ماتریس افزوده دستگاه اصلی می باشد بنابراین می توان به این صورت عمل کرد :

بنابراین پاسخ به صورت زیر می شود :

x=4 y= 1 z=0

در صورتی که پاسخ را با روش های قبل به دست آوریم خواهیم داشت لازم به ذکر است که به جای استفاده از تابع inv می توان از توان منفی یک نیز استفاده کرد .

>> F=A\b

F =

   4
   1
   0

>> F=inv(A)*b

F =

   4
   1
   0

>> F=A^(-1)*b

F =

   4
   1
   0 

********************


جمعه 18 فروردین 91

91/1/18